写一篇数学小论文（学习数学的得与失）

数学发展到现代，分裂为两个方向，纯粹数学和应用数学。弗雷格是前者的代表人物。之前的数学的任务是计算，通过计算来解决问题，到了19世纪，随着数学抽象程度的增加，数学的任务变成了理解。当然这只是数学发展的一个方向，即纯粹数学的方向；之后，一般人不再弄得懂专业的数学，而数学的堂奥之处留给了专家。
弗雷格要解决的问题是，从逻辑中推出数学，即给数学一个稳固的基础。他认为，“许多过去被看做是不证自明的东西，现在都需要证明。” 数学也是如此。凡是可以证明的地方，就必须通过证明而不是归纳来确证。弗雷格给自己的任务是，给数下一个定义，尽管过去人们以为它是不可定义的。
康德认为，数学命题是先天综合命题。而弗雷格不这么认为，他指出，数学是分析命题。但是他同时认为，康德关于分析与综合的区分不足以穷尽所有命题。因为，可以找出一个句子，它并不包含在任何个别的定义之中，却可以从所有定义中逻辑地推出。那它就既不是分析判断也不是综合判断。事实上，康德低估了分析判断的价值，它并非不告诉我们什么。在这个意义上，数学是分析命题。
下面简单地谈一下弗雷格的正面立论。他认为，每个个别的数都是一个独立的对象。首先，他说明了数的给出包含着对一个概念的陈述。在“0这个数属于F这个概念”这个句子中，如果我们把F这个概念看成实实在在的主词，那么0只是谓词的一部分。如果把0、1、2这样的数看做概念的性质可能会改变它的意谓。比如在“木星有四颗卫星”这一描述中，“四”表面上是作为定语，事实上，更为准确的描述是“木星的卫星数是四”。这里，“是”的含义是“是与……相等”、“是与……同一”。这种等式形式是算术中的主要形式。所以，个别的数表现为独立的对象。
然而，这种想法的困难是我们无法对数形成表象。弗雷格的反驳是，我们同样也无法形成我们与太阳的距离的表象，但这并不说明发现这一距离所依据的计算的正确性是不可靠的。当然，这一类比式的反驳可能没有那么大的说服力。弗雷格进一步指出，“通过思维我们甚至常常超出可以形成表象的东西之外，而不因此失去我们推论的基础。” 因此，表象与被思考的东西之间的联系可以是完全表面的，任意的和依据习惯的。就算我们无法对一个词的内涵形成表象，但这并非否定一个词的意谓。
事实上，只有在完整的句子中词才有意谓，而数的独立性并不意谓数词脱离句子联系而表示某种东西。“如果句子作为整体有一个意义，就足够了；这样句子的诸部分也就得到它们的内涵。”
最后，弗雷格指出，认为数不是一个空间对象，这并不表明它不是一个对象。并非每个客观的对象都有一个空间位置。总之，他试图表明，数作为独立的对象是可能的。这是他关于数的定义的一个初始的考虑。
弗雷格的策略是对数本身的一种拯救。当先贤们把数抛入世界之中，数总是与世界纠缠在一起。特别是到了康德，数开始和人类认识世界的能力打交道。弗雷格所做的工作是证明数的独立性，数可以成为一个对象，尽管它和别的对象不大一样。尽管数可以成为世界中的秩序或规律，但它不必然如此。所以，弗雷格为数找到了它自己的居所（尽管不是空间）。